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ζ（； 1） 在复平面上的解析延拓。 之所以要对这一表达式进行解析延拓， 是因为 - 如我们已经注明的 - 这一表达式只适用于复平面上 ； 1 的区域 （否则级数不收敛）。 r 找到了这一表达式的解析延拓 （当然 r 没有使用 “解析延拓” 这样的现代复变函数论术语）。 运用路径积分， 解析延拓后的 r ζ 函数可以表示为： 式中的积分实际是一个环绕正实轴 （即从 +∞ 出发， 沿实轴上方积分至原点附近， 环绕原点积分至实轴下方， 再沿实轴下方积分至 +∞ - 离实轴的距离及环绕原点的半径均趋于 0） 进行的围道积分； 式中的 c 函数 c（s） 是阶乘函数在复平面上的推广， 对于正整数 （s）＝（s-1）！。 可以证明， 这一积分表达式除了在 s＝1 处有一个简单极点外在整个复平面上解析。 这 ζ 函数的完整定义。 ”

冰夜月风在讲台上画了一个图。说道：“运用右上角图中的积分表达式可以证明， r ζ 函数满足以下代数关系式：

ζ（（1-s）（2π）s-1sin（πs/2）ζ（1-s）

从这个关系式中不难发现， r ζ 函数在 s＝-2n （n 为正整数） 取值为零 - 因为 sin（πs/2） 为零〖注三〗。 复平面上的这种使 r ζ 函数取值为零的点被称为 r ζ 函数的零点。 因此 s＝-2n （n 为正整数） 是 r ζ 函数的零点。 这些零点分布有序、 性质简单， 被称为 r ζ 函数的平凡零点 （trros）。 除了这些平凡零点外， r ζ 函数还有许多其它零点， 它们的性质远比那些平凡零点来得复杂， 被称为非平凡零点 （rros） 。 对 r ζ 函数非平凡零点的研究构成了现代数学中最艰深的课题之一。r 猜想就是一个关于这些非平凡零点的猜想。

r 猜想： r ζ 函数的所有非平凡零点都位于复平面上 re（s）＝1/2 的直线上。

这 猜想的内容， 它是 r 在 1859 年提出的。从其表述上 猜想似乎是一个纯粹的复变函数命题，但它其实却是一曲有关素数分布的神秘乐章。 ”

冰夜月风示意冰夜月瞳接下去，“我要检验你有没有偷懒呢？”

冰夜月瞳懒懒的瞥了一眼，回答道：“黎曼185；；；；zp；；；；；e＆#039； 中提及了这个著名的猜想，但它并非该论文的中心目的，他也没有试图给出证明。黎曼知道ζ函数的不平凡零点对称地分布在直线12；；；； + it上，以及他知道它所有的不平凡零点一定位于区域0 ≤ re（s） ≤ 1中。 18ee-p 分别独立地证明了在直线re（s） ＝ 1上没有零点。连同了黎曼对于不非凡零点已经证明了的其他特性，这显示了所有不平凡零点一定处于区域0 ＆； 1上。这是素数定理第一个完整证明中很关键的一步。

1900年，大卫·希尔伯特将黎曼猜想包括在他著名的23条问题中，黎曼猜想与哥德巴赫猜想一起组成了希尔伯特名单上第8号问题。当被问及若他一觉醒来已是五百年后他将做什么时，希尔伯特有名地说过他的第一个问题将是黎曼猜想有否被证明。（der 2003：1bs 1986：16）。 黎曼猜想是希尔伯特问题中唯一一个被收入克雷数学研究所的千禧年大奖数学难题的。

1914年，高德菲·哈罗德·哈代证明了有无限个零点在直线re（12；；；；上。然而仍然有可能有无限个不平凡零点位于其它地方（而且有可能是最主要的零点）。后来哈代与约翰·恩瑟·李特尔伍德在1921年及塞尔伯格在1942年的工作（临界线定理）也就是计算零点在临界线 re（12；；；； 上的平均密度。

近几十年的工作集中于清楚的计算大量零点的位置（希望借此能找到一个反例）以及对处于临界线以外零点数目的比例置一上界（希望能把上界降至零）

过去数十年很多数学家队伍声称证明了黎曼猜想，而截至2007年为止有少量的证明还没被验证。但它们都被数学社群所质疑，而专家们多数并不相信它们是正确的。艾希特大学的 ki 为这些或严肃或荒唐的声明编辑了一份列表，而一些其它声称的证明可在rxiv数据库中找到。”

＝-＝好像黎曼写得多了点额

第二乐章、开场——哥哥

冰夜月瞳接着把冰夜月风的介绍背完。说道：“我真没偷懒。”

“好啦，